Polinomial

Sekarang kita akan membahas polinomial atau suku banyak.  apa itu suku banyak dan bagaimana bentuknya, mari kita simak pada penjelasan dibawah ini.

Bentuk Umum

F(x) = an xn + an – 1 xn – 1 + an – 2 xn – 2 + … + … a2x2 + a1x + a0

keterangan :

n = derajat suku banyak

a0 = konstanta

an, an – 1, an – 2, … = koefisien dari xn, xn – 1, xn – 2, …

Pangkat merupakan bilangan cacah.

Penjumlahan dan pengurangan polinomial

Ketika menjumlah atau mengurangkan polinomial, maka yang anda jumlah atau kurangkan adalah suku-suku yang sejenis. Untuk polinomial satu variabel,suku-suku satu jenis adalah suku-suku dengan eksponen variabelnya sama misalkan 2x dan 4x, 3x² dan 5x². 

Mengalikan polinomial 

DI SMP anda telah mempelajari cara mengalikan dua polinomial. Disini kita hanya sekedar mengulanginya. 

Pembagian Suku Banyak

Bentuk Umum

F(x) = P(x).H(x) + S(x)

dimana :

F(x) = suku banyak

P(x) = pembagi

H(x) = hasil bagi

S(x) = sisa

Metode Pembagian Suku Banyak

contoh :

F(x) = 2x³ – 3x² + x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x² – x – 1

1. Cara bersusun

Sehingga hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x + 4

2. Cara Horner/skema

cara ini dapat  digunakan untuk pembagi berderajat 1 atau pembagi yang dapat difaktorkan menjadi pembagi-pembagi berderajat 1

Cara:

• Tulis koefisiennya saja → harus runtut dari koefisien xn, xn – 1, … hingga konstanta (jika ada variabel yang tidak ada, maka koefisiennya ditulis 0)

Contoh: untuk 4x³ – 1, koefisien-koefisiennya adalah 4, 0, 0, dan -1 (untuk x³, x², x, dan konstanta)7

• Jika koefisien derajat tertinggi P(x) ≠ 1, maka hasil baginya harus dibagi dengan koefisien derajat tertinggi P(x)

• Jika pembagi dapat difaktorkan, maka:

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1 dan P2, maka S(x) = P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, maka S(x) = P1.P2.S3 + P1.S2 + S1

Jika pembagi dapat difaktorkan menjadi P1, P2, P3, P4, maka S(x) = P1.P2.P3.S4 + P1.P2.S3 + P1.S2 + S1

dan seterusnya

Untuk soal di atas,

P(x) = 2x² – x – 1 = (2x + 1)(x – 1)

P1: 2x + 1 = 0 → x = –½

P2: x – 1 = 0 → x = 1

Cara Hornernya:

H(x) = 1.x – 1 = x – 1

S(x) = P1.S2 + S1 = (2x + 1).1/2 + 7/2 = x + ½ + 7/2 = x + 4

Teorema sisa

1.jika suku banyak f (x) dibagi x-k, maka akan bersisa f (k)  

Contoh soal

F (x) = x4 + 3x³ – 2x² + x – 5  : (x-2) 

Maka hasilnya: ( x³ + 5x² + 8x + 17) + 29

Soal tersebut bisa dibuktikan dengan cara hoerner maupun bersusun. 

2. Jika suku banyak f (x)  dibagi a (x)  - b maka akan bersisa f (b/a)

Contoh soal

F (x)  = x4+ 3x³ + 2x² + x – 5 : ( 2x – 1)

Maka hasilnya : ( x³ + 7/2x² + 15/4x + 23/8 ) – 57/16

Soal tersebut bisa dibuktikan dengan cara horner dan bersusun

3. Jika suatu banyak f (x)  dibagi ( x-a) (x-b) maka sisanya adalah px + q dengan f (a) = p (a)  + q dan f (b)  = p (b)  + q

Contoh soal

F (x) = x³ – 2x² +3x – 1 : (x² + x – 2 )

Jawab

Faktorkan 

X² + x  - 2 

( x + 2) (x – 1)

a = -2

b = 1

F (x) = x³ – 2x² + 3x – 1 

F (a) = a³ – 2 (a) 2 + 3 (a)  - 1

F (-2)= (-2)³ – 2 (-2) + 3 (-2) – 1

         = -8 -8 -6 -1 

         = -23

F (b) = b³ – 2 (b) ² + 3 (b)  - 1

F (1) = 1³ - 2 (1)² + 3 (1) – 1

         = 1 – 2 + 3 – 1

         = 1

Teorem sisa 

F (a) = p (a) + q 

F (-2) = p (-2) + q 

F (-2) = -2p + q

-23    = -2p + q

-2p+q = -23....... Persamaan 1

F (b) = p (b) + q

F (1) = p (1) + q

F (1) = p + q

1      = p + q

P+q = 1......... Persamaan 2

Eliminasi

-2p +q = -23

P + q   = 1 – 

-3p      = -24

   P      = 8

Subsitusi

P + q = 1

8 + q = 1 

       q = 1 – 8

       q = -7

Sisa 

Px + q

8x – 7

Cara pembuktiannya bisa menggunakan cara bersusun

Terimakasih, semoga bermanfaat